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Rechner für den gewichteten Durchschnitt
Voreinstellung
Jede Berechnung des gewichteten Durchschnitts läuft im Browser. Kein Datensatz wird hochgeladen, auf einem Server gespeichert oder geteilt.
Über den Rechner für den gewichteten Durchschnitt
Ein Rechner für den gewichteten Durchschnitt multipliziert jeden einzelnen Wert mit seinem Gewicht, addiert die Produkte zu einer gewichteten Summe und teilt diese Summe durch die Summe der Gewichte. Das Ergebnis ist der gewichtete Durchschnitt, in der Statistik gewichtetes Mittel oder gewichtetes arithmetisches Mittel genannt.
Dieser Rechner bietet 4 Vorteile: eine Berechnung, die bei jedem Tastendruck aktualisiert wird, einen Rechenweg für jedes Wert-Gewicht-Paar, einen direkten Vergleich mit dem einfachen arithmetischen Mittel sowie die Kontrolle über Nachkommastellen und Rundung.
Studierende, Lehrkräfte und Analysten nutzen den Rechner für 5 Aufgaben: Kursnoten, Notendurchschnitt (GPA), Portfoliorenditen, durchschnittlicher Verkaufspreis und diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Der Rechner besteht aus 5 Teilen: Wertfeldern, Gewichtsfeldern, einer Voreinstellung für Noten, GPA und Portfolio, einer Einstellung für Nachkommastellen und einem Ergebnisbereich, der den gewichteten Durchschnitt, die Summe der gewichteten Werte, die Summe der Gewichte und die Anzahl der gezählten Zeilen ausgibt.
So verwenden Sie den Rechner für den gewichteten Durchschnitt
Um den Rechner zu verwenden, geben Sie jeden Wert mit dem Gewicht ein, das er trägt, und lesen den gewichteten Durchschnitt im Ergebnisbereich ab. Die Berechnung läuft bei jedem Tastendruck, ein Berechnen-Button ist nicht nötig.
Werte und Gewichte eingeben
Geben Sie jeden Wert in das Feld Wert ein und das passende Gewicht in das Feld Gewicht. Eine Zeile enthält ein Wert-Gewicht-Paar, und der Rechner akzeptiert beliebig viele Zeilen.
- Zeile hinzufügen erstellt eine neue Zeile. Die Eingabetaste in der letzten Zeile bewirkt dasselbe.
- Bezeichnung benennt die Zeile, etwa Hausaufgaben, Zwischenprüfung oder Aktien. Die Bezeichnung bleibt optional.
- Voreinstellung ändert die Beschriftung beider Spalten in 4 Modi: Allgemein, Kursnoten, GPA und Portfolio.
- Nachkommastellen legt die Rundung des Ergebnisses zwischen 0 und 6 Stellen fest.
- Zurücksetzen löscht den Datensatz und stellt 3 leere Zeilen her.
Gewichte akzeptieren Dezimalzahlen, ganze Zahlen, Prozentwerte und Credits. Der Rechner überspringt leere Felder, zählt Nullen bei den gezählten Zeilen mit und markiert ungültige Eingaben wie Buchstaben oder einzelne Sonderzeichen unterhalb des Eingabebereichs.
Den gewichteten Durchschnitt ablesen
Der gewichtete Durchschnitt steht oben im Ergebnisbereich, ausgegeben mit den gewählten Nachkommastellen. Vier ergänzende Kennzahlen stehen darunter:
- Summe der gewichteten Werte — jeder Wert mit seinem Gewicht multipliziert und addiert.
- Summe der Gewichte — das Gesamtgewicht des Datensatzes.
- Gezählte Zeilen — die Anzahl der verwendeten Wert-Gewicht-Paare.
- Einfacher Durchschnitt — das arithmetische Mittel derselben Werte, zum Vergleich.
Eine kleine Grafik darunter teilt einen Balken nach Gewicht auf, sodass der Anteil jedes Wertes sichtbar bleibt. Ergebnis kopieren kopiert nur die Zahl. Rechenweg kopieren kopiert jede Multiplikation, die gewichtete Summe, die Summe der Gewichte und beide Mittelwerte als reinen Text.
Was ist ein gewichteter Durchschnitt?
Ein gewichteter Durchschnitt ist ein Durchschnitt, bei dem jeder Wert ein Gewicht trägt, das festlegt, wie stark dieser Wert das Ergebnis beeinflusst. Der gewichtete Durchschnitt entspricht der gewichteten Summe geteilt durch die Summe der Gewichte.
Die Definition umfasst 3 Namen für eine statistische Kennzahl: gewichteter Durchschnitt, gewichtetes Mittel und gewichtetes arithmetisches Mittel. Ein gewöhnliches Mittel behandelt jeden Wert gleich, jedes Gewicht beträgt also 1. Ein gewichteter Durchschnitt ersetzt diese gleichen Gewichte durch Zahlen, die Bedeutung, Häufigkeit, Menge oder Größe beschreiben.
Ein Datensatz aus 3 Prüfungsnoten zeigt den Unterschied. Noten von 90, 75 und 60 ergeben ein arithmetisches Mittel von 75. Versehen Sie dieselben Noten mit Gewichten von 3, 2 und 5, sinkt der gewichtete Durchschnitt auf 72, weil die Note 60 die Hälfte der Summe der Gewichte trägt.
(90 × 3) + (75 × 2) + (60 × 5) = 720 → 720 ÷ 10 = 72
So berechnen Sie einen gewichteten Durchschnitt
Um einen gewichteten Durchschnitt zu berechnen, multiplizieren Sie jeden Wert mit seinem Gewicht, addieren die Produkte, addieren die Gewichte und teilen die gewichtete Summe durch die Summe der Gewichte. Die Methode braucht 4 Schritte und funktioniert für jeden Datensatz aus Wert-Gewicht-Paaren.
Gewichteten Durchschnitt Schritt für Schritt berechnen
Berechnen Sie den gewichteten Durchschnitt von 3 Modulen mit den Noten 88, 74 und 91, die 4 Credits, 2 Credits und 6 Credits tragen:
- Jeden Wert mit seinem Gewicht multiplizieren. 88 × 4 = 352, 74 × 2 = 148 und 91 × 6 = 546.
- Die Produkte zur gewichteten Summe addieren. 352 + 148 + 546 = 1.046.
- Die Gewichte zur Summe der Gewichte addieren. 4 + 2 + 6 = 12 Credits.
- Die gewichtete Summe durch die Summe der Gewichte teilen. 1.046 ÷ 12 = 87,17.
Der gewichtete Durchschnitt dieser 3 Module beträgt 87,17. Der einfache Durchschnitt derselben 3 Werte liegt bei 84,33, das Modul mit 6 Credits hebt den Semesterschnitt also um 2,83 Punkte.
| Modul | Wert | Gewicht (Credits) | Gewichteter Wert |
|---|---|---|---|
| Modul A | 88 | 4 | 352 |
| Modul B | 74 | 2 | 148 |
| Modul C | 91 | 6 | 546 |
| Gesamt | — | 12 | 1.046 |
| Gewichteter Durchschnitt | — | — | 87,17 |
Formel für den gewichteten Durchschnitt
Die Formel für den gewichteten Durchschnitt lautet x̄w = ∑(wi × xi) ÷ ∑wi, die Summe der gewichteten Werte geteilt durch die Summe der Gewichte.
x̄w = ∑ wi · xi ∑ wi
Die Formel enthält 3 Terme. Jeder Wert trägt das Symbol xi, jedes Gewicht das Symbol wi, und das gewichtete arithmetische Mittel trägt das Symbol x̄w. Die Multiplikation jedes Wert-Gewicht-Paares ergibt die gewichtete Summe im Zähler, die Addition aller Gewichte die Summe der Gewichte im Nenner.
Gewichte tragen jede einheitliche Größe: Prozentwerte, Credits, Euro, Aktien, Stückzahlen oder Wahrscheinlichkeiten. Die Division durch die Summe der Gewichte hebt die Skala auf, deshalb ergeben Gewichte von 2, 3 und 5 denselben gewichteten Durchschnitt wie Gewichte von 20 %, 30 % und 50 %.
Beispiel für einen gewichteten Durchschnitt
Eine Kursnote aus 3 Prüfungsleistungen zeigt die Formel in Anwendung. Hausaufgaben erreichen 92 bei 20 % Gewicht, die Zwischenprüfung 78 bei 30 % und die Abschlussprüfung 85 bei 50 %.
| Leistung | Note | Gewicht in Prozent | Gewichtete Note |
|---|---|---|---|
| Hausaufgaben | 92 | 20 % | 1.840 |
| Zwischenprüfung | 78 | 30 % | 2.340 |
| Abschlussprüfung | 85 | 50 % | 4.250 |
| Gesamt | — | 100 % | 8.430 |
| Endnote | — | — | 84,30 |
(92 × 20) + (78 × 30) + (85 × 50) = 8.430 → 8.430 ÷ 100 = 84,30
Die Endnote liegt bei 84,30, während der einfache Durchschnitt von 92, 78 und 85 bei 85,00 liegt. Das Gewicht von 30 % auf der Zwischenprüfung drückt die Kursnote um 0,70 Punkte.
Gewichteter Durchschnitt und einfacher Durchschnitt
Der gewichtete Durchschnitt weist jedem Wert ein eigenes Gewicht zu, der einfache Durchschnitt allen Werten dasselbe Gewicht. Der Unterschied zwischen Mittelwert und gewichtetem Durchschnitt zeigt sich, sobald die Gewichte voneinander abweichen.
| Merkmal | Gewichteter Durchschnitt | Einfacher Durchschnitt |
|---|---|---|
| Gewichtung | Jeder Wert trägt sein eigenes Gewicht | Jeder Wert trägt das Gewicht 1 |
| Formel | Summe der gewichteten Werte ÷ Summe der Gewichte | Summe der Werte ÷ Anzahl der Werte |
| Eingaben | Wert-Gewicht-Paare | Nur Werte |
| Anwendung | Kursnoten, GPA, Portfoliorenditen, Wahrscheinlichkeit | Datensätze gleicher Bedeutung |
| Ergebnis bei 92, 78, 85 | 84,30 bei Gewichten von 20 %, 30 %, 50 % | 85,00 |
Wann entspricht der gewichtete Durchschnitt dem arithmetischen Mittel?
Der gewichtete Durchschnitt entspricht dem arithmetischen Mittel, wenn alle Gewichte im Datensatz dieselbe Zahl tragen. Gleiche Gewichte kürzen sich in der Division heraus, wodurch sich die Formel auf die Summe der Werte geteilt durch deren Anzahl reduziert.
Drei Werte mit den Gewichten 5, 5 und 5 liefern dasselbe Ergebnis wie dieselben 3 Werte mit den Gewichten 1, 1 und 1. Der Rechner blendet einen Hinweis ein, sobald gewichteter Durchschnitt und arithmetisches Mittel übereinstimmen.
Wann ein gewichteter Durchschnitt sinnvoll ist
Verwenden Sie einen gewichteten Durchschnitt, wenn die Werte im Datensatz unterschiedliche Bedeutung, Häufigkeit, Menge oder Größe haben. Sechs Situationen verlangen die gewichtete Methode.
- Kursnoten aus Aufgaben und Prüfungen mit unterschiedlichem Gewicht.
- Notendurchschnitt (GPA) über Module mit unterschiedlichen Credits.
- Portfoliorenditen über Positionen mit unterschiedlicher Gewichtung.
- Durchschnittlicher Verkaufspreis über Bestellungen mit unterschiedlichen Mengen.
- Umfrageergebnisse über Segmente mit unterschiedlichen Stichprobengrößen.
- Wahrscheinlichkeitsverteilungen, in denen jedes Ergebnis seine eigene Wahrscheinlichkeit trägt.
Wie Sie Gewichte wählen
Wählen Sie Gewichte, indem Sie die Größe messen, die einen Wert stärker zählen lässt als einen anderen. Drei Gewichtungsschemata decken die meisten Datensätze ab:
- Prozentgewichtung — eine Prüfungsordnung nennt 20 % Hausaufgaben, 30 % Zwischenprüfung, 50 % Abschlussprüfung.
- Credit-Gewichtung — ein Zeugnis nennt 4 Credits, 3 Credits und 5 Credits je Kurs.
- Mengengewichtung — eine Rechnung nennt 120 Stück, 45 Stück und 300 Stück je Bestellung.
Behalten Sie eine Einheit über den gesamten Datensatz bei. Credits mit Prozentwerten in einer Berechnung zu mischen verzerrt die Summe der Gewichte und das Ergebnis.
Was gilt, wenn die Gewichte keine 100 % ergeben?
Gewichte müssen keine 100 % ergeben. Die Formel teilt durch die Summe der Gewichte und normiert damit jede Skala automatisch: Gewichte von 4, 3 und 5 Credits liefern ohne Umrechnung einen gültigen gewichteten Durchschnitt.
Zwei Fälle brauchen dennoch Aufmerksamkeit. Ein striktes Schema mit Summe 1, wie bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen, verlangt Gewichte mit der Gesamtsumme genau 1,0, damit das Ergebnis als Erwartungswert gilt. Eine Summe der Gewichte von 0 macht die Division unmöglich, deshalb gibt der Rechner kein Ergebnis aus und zeigt stattdessen einen Hinweis.
Gewichteter Durchschnitt für Noten und GPA
Die schulische Benotung beruht auf 2 gewichteten Durchschnitten: der Kursnote, gewichtet nach dem Gewicht der Leistungen, und dem Notendurchschnitt (GPA), gewichtet nach Credits.
Gewichteter Durchschnitt für Noten
Berechnen Sie eine gewichtete Note, indem Sie jede Note mit ihrem Prozentgewicht multiplizieren und die Summe durch 100 teilen. Ein Schema aus 40 % Studienleistung und 60 % Abschlussprüfung macht aus einer Studienleistung von 72 und einer Abschlussprüfung von 65 die Endnote 67,80.
(72 × 40) + (65 × 60) = 6.780 → 6.780 ÷ 100 = 67,80
Die Planung der Endnote kehrt dieselbe Rechnung um. Tragen Sie die bereits erreichten Noten ein, ergänzen Sie eine Zeile für die Abschlussprüfung und passen Sie diese Zeile an, bis der gewichtete Durchschnitt Ihr Ziel erreicht. Wer 72 in einer Studienleistung mit 40 % Gewicht hält, braucht 85,33 in einer Abschlussprüfung mit 60 % Gewicht, um den Kurs mit 80 abzuschließen.
Gewichteter Durchschnitt für den GPA
Berechnen Sie den GPA, indem Sie die Notenpunkte jedes Kurses mit dessen Credits multiplizieren und durch die Gesamtzahl der Credits teilen. Die 4,0-GPA-Skala, auch 4-Punkte-Skala genannt, wandelt jede Buchstabennote in Notenpunkte um.
| Buchstabennote | Notenpunkte | Buchstabennote | Notenpunkte |
|---|---|---|---|
| A | 4,0 | C+ | 2,3 |
| A− | 3,7 | C | 2,0 |
| B+ | 3,3 | C− | 1,7 |
| B | 3,0 | D | 1,0 |
| B− | 2,7 | F | 0,0 |
Ein Semester mit 4 Kursen — 4,0 über 4 Credits, 3,0 über 3 Credits, 3,7 über 5 Credits und 2,7 über 2 Credits — ergibt 48,9 gewichtete Notenpunkte über 14 Credits, der Semester-GPA erreicht damit 3,49.
Ungewichteter GPA
Der ungewichtete GPA begrenzt jeden Kurs auf 4,0 und ignoriert den Schwierigkeitsgrad. Ein High-School-GPA von 4,0 ungewichtet bedeutet durchgehend Bestnoten, in Regelkursen ebenso wie in Advanced-Placement-Kursen (AP).
Gewichteter GPA
Der gewichtete GPA vergibt Zusatzpunkte für den Schwierigkeitsgrad und hebt die Skala über 4,0. Die meisten High-School-Schemata addieren 1,0 für AP-Kurse und Kurse des International Baccalaureate (IB) sowie 0,5 für Honors-Kurse.
Anwendungen des gewichteten Durchschnitts
Der gewichtete Durchschnitt tritt in Statistik, Finanzwesen, schulischer Benotung und Mathematik auf, überall dort, wo Anteile und Verhältnisse zwischen den Werten eines Datensatzes voneinander abweichen.
Gewichteter Durchschnitt in der Statistik
Die Statistik nutzt den gewichteten Durchschnitt für den Erwartungswert einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Jedes Ergebnis nimmt seine Wahrscheinlichkeit als Gewicht, und die Gewichte summieren sich auf 1,0, sodass bereits die gewichtete Summe den Erwartungswert liefert.
Ein fairer sechsseitiger Würfel trägt 6 Ergebnisse mit je einer Wahrscheinlichkeit von 0,1667, woraus sich ein Erwartungswert von 3,5 ergibt. Gewichtete Durchschnitte fassen außerdem Umfragesegmente nach Stichprobengröße zusammen: Eine Gruppe von 900 Befragten zählt dreimal so viel wie eine Gruppe von 300.
Gewichteter Durchschnitt im Finanzwesen
Das Finanzwesen nutzt den gewichteten Durchschnitt in 4 Berechnungen: Portfoliorenditen, Aktienindizes, durchschnittlicher Verkaufspreis und Zinssätze.
- Portfoliorenditen gewichten die Rendite jeder Position nach ihrem Anteil. Renditen von 11,4 %, 3,2 % und 1,5 % bei Anteilen von 55 %, 30 % und 15 % ergeben 7,46 %.
- Aktienindizes wie der S&P 500 gewichten jedes Unternehmen nach Marktkapitalisierung, sodass größere Unternehmen den Index stärker bewegen.
- Durchschnittlicher Verkaufspreis gewichtet jeden Preis nach der verkauften Menge und korrigiert so die Verzerrung eines reinen Preisdurchschnitts.
- Gewichteter durchschnittlicher Zinssatz gewichtet jeden Zinssatz nach der Restschuld des jeweiligen Darlehens.
Gewichteter Durchschnitt und andere Mittelwerte
Die Mathematik kennt 4 Mittelwerte für einen Datensatz: den gewichteten Durchschnitt, das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel und das harmonische Mittel. Jeder beantwortet eine andere Frage zu denselben Werten.
| Mittelwert | Methode | Ergebnis |
|---|---|---|
| Gewichteter Durchschnitt | Summe der gewichteten Werte ÷ Summe der Gewichte, bei Gewichten von 1, 2, 7 | 10,60 |
| Arithmetisches Mittel | Summe der Werte ÷ Anzahl der Werte | 8,33 |
| Geometrisches Mittel | Dritte Wurzel aus dem Produkt der 3 Werte | 7,56 |
| Harmonisches Mittel | Anzahl ÷ Summe der Kehrwerte | 6,75 |
Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel addiert alle Werte und teilt durch deren Anzahl. Es passt zu Datensätzen gleicher Bedeutung, etwa 30 täglichen Temperaturmessungen einer Station.
Geometrisches Mittel
Das geometrische Mittel multipliziert n Werte und zieht die n-te Wurzel aus diesem Produkt. Zusammengesetzte Größen nutzen es, etwa eine jährliche Wachstumsrate über 5 Jahre.
Harmonisches Mittel
Das harmonische Mittel teilt die Anzahl der Werte durch die Summe ihrer Kehrwerte. Raten über eine feste Strecke oder feste Kosten nutzen es, etwa eine Durchschnittsgeschwindigkeit über 2 Abschnitte einer Fahrt.
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Häufige Fragen
Ist das gewichtete Mittel dasselbe wie der gewichtete Durchschnitt?
Ja, das gewichtete Mittel ist dasselbe wie der gewichtete Durchschnitt. Die Statistik bevorzugt den Begriff gewichtetes arithmetisches Mittel, die schulische Benotung den gewichteten Durchschnitt, und beide bezeichnen die Summe der gewichteten Werte geteilt durch die Summe der Gewichte.
Dürfen Gewichte Dezimalzahlen sein?
Ja, Gewichte dürfen Dezimalzahlen sein. Wahrscheinlichkeiten von 0,25 und 0,75, Credits von 1,5 und Anteile von 33,33 % funktionieren in der Formel, weil die Summe der Gewichte jede Skala normiert.
Müssen Gewichte zusammen 100 % ergeben?
Nein, Gewichte müssen keine 100 % ergeben. Credits von 4, 3 und 5 ergeben zusammen 12 und liefern dennoch einen korrekten gewichteten Durchschnitt, da die Division durch die Summe der Gewichte die gewichtete Summe automatisch neu skaliert.
Kommt der gewichtete Durchschnitt mit negativen Zahlen zurecht?
Ja, der gewichtete Durchschnitt kommt mit negativen Zahlen zurecht. Negative Werte wie eine Rendite von −4,2 % werden normal berechnet. Negative Gewichte schieben das Ergebnis aus dem Wertebereich heraus, deshalb markiert der Rechner jedes negative Gewicht im Eingabebereich.
Wie berechnet man einen gewichteten Durchschnitt in Excel?
Berechnen Sie einen gewichteten Durchschnitt in Excel mit =SUMMENPRODUKT(A2:A10;B2:B10)/SUMME(B2:B10), wobei Spalte A die Werte und Spalte B die Gewichte enthält. SUMMENPRODUKT bildet die gewichtete Summe, SUMME die Summe der Gewichte.
Wie berechnet man einen gewichteten Durchschnitt in Google Sheets?
Berechnen Sie einen gewichteten Durchschnitt in Google Sheets mit =AVERAGE.WEIGHTED(A2:A10;B2:B10), wobei A2:A10 die Werte und B2:B10 die Gewichte enthält. Die SUMMENPRODUKT-Formel aus Excel funktioniert in Google Sheets ebenfalls.
Wie berechnet man einen gewichteten Notendurchschnitt?
Berechnen Sie einen gewichteten Notendurchschnitt, indem Sie jede Note mit ihrem Gewicht multiplizieren, diese gewichteten Noten addieren und durch die Summe der Gewichte teilen. Noten von 92, 78 und 85 bei Gewichten von 20 %, 30 % und 50 % ergeben eine Endnote von 84,30.
Wie rechnet man, wenn die Studienleistung 40 % zählt?
Multiplizieren Sie die Note der Studienleistung mit 40, die Prüfungsnote mit 60, addieren Sie beide gewichteten Noten und teilen Sie durch 100. Eine Studienleistung von 72 und eine Prüfung von 65 ergeben eine Kursnote von 67,80.
Was ist der Unterschied zwischen gewichtetem und ungewichtetem GPA?
Der gewichtete GPA berücksichtigt den Schwierigkeitsgrad, der ungewichtete ignoriert ihn. Der ungewichtete GPA endet bei 4,0 auf der 4-Punkte-Skala, während der gewichtete 1,0 für AP- und IB-Kurse sowie 0,5 für Honors-Kurse ergänzt und einen High-School-GPA damit über 4,0 hebt.
Wie berechnet man einen gewichteten durchschnittlichen Zinssatz?
Berechnen Sie einen gewichteten durchschnittlichen Zinssatz, indem Sie jeden Zinssatz nach der Darlehenssumme gewichten. Salden von 20.000 $ zu 6 % und 5.000 $ zu 3 % ergeben (120.000 + 15.000) ÷ 25.000, also einen gewichteten Durchschnittszins von 5,4 %.
Darf man Durchschnitte mitteln?
Ja, man darf Durchschnitte mitteln, sofern jeder Durchschnitt die dahinterstehende Anzahl als Gewicht trägt. Werden Durchschnitte ohne Gewichte gemittelt, zählt eine Gruppe von 900 Studierenden genauso viel wie eine Gruppe von 30.
Ist der Durchschnitt von Durchschnitten genau?
Nein, der Durchschnitt von Durchschnitten ist bei ungleichen Gruppengrößen nicht genau. Klassendurchschnitte von 90 bei 10 Lernenden und 60 bei 90 Lernenden ergeben ungewichtet 75, der gewichtete Durchschnitt dagegen 63 — ein Fehler von 12 Punkten.
Gewichteten Durchschnitt online berechnen
Jedes Wert-Gewicht-Paar, ein gewichteter Durchschnitt.
Der Rechner multipliziert jeden Wert mit seinem Gewicht, addiert die gewichteten Werte, teilt durch die Summe der Gewichte und zeigt den gewichteten Durchschnitt neben dem einfachen arithmetischen Mittel. Kursnoten, GPA, Portfoliorenditen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen durchlaufen dieselben 4 Schritte.
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